Armstrong《基础拓扑学》使用攻略

这是一本有趣的书。

Armstrong的书作为拓扑学的入门教材，我个人觉得还是非常值得使用。但本书确实是有很多缺点，如证明结束没有特定的标记，有些定义放在语段中，这些小细节漏洞有时候确实会让人抓狂。并且我读的是人民邮电出版社2019年新版，里面有不少打印错误，建议与英文电子版同时读，中文版本在淘宝上有卖。图灵社区上有我发现的一些勘误：

但是不得不说这本书也有相当多的优点。最重要的一点，它篇幅短，只有两百页左右，它足够让你在两个月之内掌握拓扑学的基本概念，方法。它在二三四短短三章就介绍了点集拓扑，这个部分有点少，但作为基本语言，我们学会用拓扑学“说话”其实已经够了，这个部分要深化可以用Munkres，或者同时把Munkres作为参考书，我就是这么干的。后面的内容直入代数拓扑，节奏很好。

有些人吐槽这本书把证明留给读者。我想说数学书不都这么干嘛？我反而认为这是本书一个优点。确实本书有些这样的习题，并且往往都不简单，但本书基本都做了充分的提示，通过自己思考往往都能做出来，我做了本书几乎全部习题，除了一看就会的我大部分都写了下来。我认为本书的习题部分很不错，甚至某种意义上说我认为比正文部分还要好，毕竟看正文需要跟上作者的思路，而写题完全是自我思想的纵横驰骋。

说了这么多，现在进入正文：

（1） 准备知识：

数学分析，高等代数，抽象代数这些是必需的。最好是懂一些集论的知识，如实分析中的集论部分，掌握开集和闭集的基本例子，这样学习会顺利许多。另外，最好懂一些序数，超序归纳之类的东西，这样可以懂Munkres书上的一些例子，并了解积拓扑的重要性，如Tychonoff定理等。也要注意拓扑中体现的范畴论思想，把它与抽象代数横向比较。学习数学课程无论如何都不能局限于学一本就只看一本。

（2） 章节具体介绍：

我认为本书分三个部分：第一章引论，第二三四章点集拓扑，第五章及之后都是初等代数拓扑。我认为不做题是永远不能学好数学的，故在这一部分中我会列举一些我觉得有难度的课后题，题目将近350余道，不可能全部讲到。我也不会讲的很细致，最多给一点提示，所以同学们在看的时候不用担心有被“剧透”的风险。由于复习和实际难度排布的关系，我可能后面提到的会比较多。

引论部分了解就行，培养几何直观，可以在学了后面章节之后回头来看第一章的一些例子。

点集拓扑还是很简略，但重要的东西一定程度上都讲到了。第二章不会有障碍。第三章重点注意紧致性。对于紧致性与列紧性的区别，这里要提Munkres书告读者里SΩ这个例子以加深理解。Lebesgue引理也很重要，值得重点关注。后面就注意Munkres上tube lemma，Armstrong也用了，只是没有特别提出来。这里也要尽可能会证Tychonoff定理。连通性讲得很简单，也可以尝试证一下连通性的一般可乘性，很好证。

第四章粘合空间前两节仔细看，没什么障碍。拓扑群讲得很好，注意这个概念以后还会提到。注意本节15题所需技巧在下链接：https://www.zhihu.com/question/416855456。除此以外，轨道空间一节也十分重要。

代数拓扑，第五章同伦论前面部分中规中矩。感觉第20题有点奇怪，没有做。“蜷帽”式空间这个例子值得提出来说，这是个很反直观的题，27有一定难度，但可以给出构造F，然后28就只要参考5.1例三就迎刃而解了。注意Brouwer不动点定理一节，重点是收缩映射的性质。平面分类一节我感觉有问题，但又说不上是哪，所以没细致看。曲面的边界重点了解方法，后面的习题可以仿照来做。

第六章单纯剖分是后面各章的基本工具，几乎每一节都要认真看。第5题参考后面的重心重分。要特别注意重心重分与单纯逼近，值得一提16题的结果是是，这也是个重要结论。6.4节用单纯剖分这一有力工具处理基本群，值得反复细读，注意van Kampen定理，习题24是其一个有趣的应用。轨道空间单纯剖分这节正文留下来的28，29很难，但不是本质上的难，不用引入新的概念或定理，仔细分析完全可以解决，它可以很好的测试你的理解程度。无穷复形值得注意定理6.17的处理方法。37到40这个大习题感觉38的处理有点奇怪。

第七章曲面有点抽象，但不难，当曲面转化为组合曲面后就可以用上节方法了，欧拉示性数实质是一种有限性思想的处理，据此可以证曲面分类的一半。注意定向。最后一节曲面符号Armstrong的图感觉不是特别直观，建议结合其他材料加深理解。

第八章单纯同调可以说深入浅出，这又是第六章方法的进一步应用。21题这个等式写出来还是很有意思的，23题注意第六章16题结论。不变性一节写得很好，这节留下的24到32题，只需要按着它的指引做出来，并不是本质困难，值得一提的就是32题需要把|K|×I看成一个新的紧致度量空间，再使用Lebesgue引理。

第九章第一节很平凡。第二节Euler-Poincare公式的处理十分巧妙，但是Armstrong太啰嗦了，其实这本质上是个线性代数的证明，建议把这个证明用线性代数的语言写一遍，实质上是维数公式的应用，处理得会漂亮得多，同样的，Hopf迹定理也是线性代数的应用，或者说前者是后者的推论。不动点定理的习题的处理需要一点技巧。维数一节感觉有点难，习题35，37不太会做。

第十章扭结内容是对全书知识的总验收。扭结本身了解一下Reidemeister定理，挺重要。注意区分合痕与等价。扭结群的处理十分几何化，算是对同伦内容的复习。第6题需要跳出思维误区，看到穿孔圆环。Seifert面是对曲面部分的复习，注意其亏格计算Armstrong的书没讲具体，自己可以通过带边曲面分类定理及引理（7.8）来对扭结的投影总结一种好的算法。覆叠空间又是对基本群的利用，但它本身也十分有趣且有用，是拓扑学版的Galois理论，Armstrong书上十分精简，建议结合其他材料，其实它本可以作为一章的议题来学。建议写出存在定理完整证明。26题很好，是对拓扑群的回顾。最后的Alexander多项式自然是对同调的复习了，还比较简单。

（3） 总结与建议

Armstrong本人功力十足，我特别欣赏本书章节安排，习题也有很高的质量，很多需要较强的几何直观，结论也非常有美感。但我相信你们也看到了，我并不是在一昧的吹捧这本书，相反，我也做了许多吐槽。但作为教材，本书完全可以用来迅速入门。没有老师指点，利用一些网络资源，我全凭自学也只用了40天左右。我并没有学过后续课程，所以以上攻略可能会一定程度上有失偏颇。但本书的逻辑是自洽的，至少在它自身的话语体系中，我尝试去公正的评价它，并写了这份攻略，同时作为我自己的复习回看，经验总结。

如果你还没有学过拓扑学，那我推荐你用它来入门。我认为拓扑首先是几何，几何就应当是具有直观，美感的，这本书带我们进入的确实是一个美的世界。

如果你正在读这本书，我希望这份攻略能够实实在在帮助到你，这是我的经验总结。对于私信，我不反对交流问题，但我反对索要答案。学数学首先就要学会的是独立思考。

如果你读过这本书，那不妨留下你的赞。我相信，爱数学的人永远不会孤独。

（4） 参考文献

【1】 马克·阿姆斯特朗，《基础拓扑学》，人民邮电出版社，2019

【2】 James R.Munkres,熊金城等译，《拓扑学》，机械工业出版社，2006

【3】 汪林，《拓扑空间与线性拓扑空间中的反例》，高等教育出版社，2018